Treffer: On the large sieve of Ju. V. Linnik

Verf. hat in seiner Arbeit \glqq On the representation of even numbers as the sum of a prime and an almost prime number\grqq{} [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 12, 57--78 (1948; Zbl 0038.18601)] die Methode des großen Siebes von Linnik verallgemeinert und zur Herleitung bedeutender Sätze der analytischen Zahlentheorie benützt. Die vorliegende Arbeit stellt sich die Aufgabe, die Methode des großen Siebes wahrscheinlichkeitstheoretisch zu interpretieren und zu begründen. Es wird folgender Satz bewiesen: Es sei eine Folge von natürlichen Zahlen \(n_1 < n_2 < \cdots < n_z < N\) gegeben. Es seien weiter \(f(p)\), \(Q(p)\) positive Funktionen mit \(f(p) < p\). Setzt man \(\tau = \min\frac{f(p)}{p}\), \(Q = \max Q(p)\) über alle \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\), und ist \(z(p, k)\) die Anzahl der \(n_j\), welche \(\equiv k(p)\), so gilt für alle \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\), ausgenommen höchstens \(\frac{2NQ^2}{z\tau}\) \[ \left\vert z(p,k) - \frac{z}{p}\right\vert < \frac{z}{pQ(p)} \] für jeden Rest \(k\), ausgenommen höchstens \(f(p)\) solche. Dieser Satz besagt, daß die \(n_j\) \glqq fast gleichverteilt\grqq{} auf die verschiedenen Rest\-klassen mod \(p\) für \glqq fast alle\grqq{} \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\) aufgeteilt sind. Einige Verallgemeinerungen werden noch angedeutet.