Treffer: Distributions of finite order in the operational calculus

Soient \(L^ 0\) et \(L^ 1\) deux espaces vectoriels sur \(\mathbb{R}\) on \(\mathbb{C}\), \(S\) un opérateur linéaire de \(L^ 1\) dans \(L^ 0\) appelé dérivation, \(L^ \infty=\bigcap_ kL^ k\) \((L^ k=\{x\in L^{k- 1}\mid Sx\in L^{k-1}\})\). L'auteur définit une relation d'équivalence sur \(\mathbb{N}\times L^ 0\) et note \(\mathcal D\) l'espace quotient, \(D\) l'application dérivée associée, \(T\) application primitives, alors tout \(f\in \mathcal D\) admet une primitive \(F\) et \(DF=f\) ainsi que \(T(f)=\{F+c;c\in\hbox{Ker} S\}\). Si \(L^ 0\) est une algèbre et si \(S\) vérifie la formule de Leibniz on a \(\forall x\in L^ \infty\) \(\forall f\in{\mathcal D}\) \(D(x.f)=Dx.f+x.Df\). Si \(L^ 0\) est muni d'une norme, il introduit la convergence des suites dans \(\mathcal D\), le dérivation sera séquentiellement continue. Il cite des examples, en particulier l'espace des processus stochastiques du \(2^ 0\) ordre , \(S\) étant le dériveé en moyenne quadratique.