Result: Simultaneous distributed-boundary optimal control problems driven by nonlinear complementarity systems

L'objectif principal de cet article est d'étudier un système de complémentarité non linéaire (NCS, pour faire court) avec un opérateur différentiel partiel non linéaire et non homogène et des conditions aux limites mixtes, et un problème de contrôle optimal à frontière distribuée simultanée régi par (NCS), respectivement. Tout d'abord, nous formulons la formulation faible de (NCS) à une inégalité variationnelle mixte avec des contraintes de double obstacle (MVI, pour faire court), et prouvons l'existence et l'unicité de la solution à (MVI). Ensuite, une méthode de pénalité de puissance est appliquée à (NCS) pour introduire une inégalité variationnelle mixte approximative sans contraintes (AMVI, pour faire court). Après cela, un résultat de convergence que la solution unique de (MVI) peut être approchée par la solution unique de (AMVI) lorsqu'un paramètre de pénalité tend vers l'infini, est établi. De plus, nous explorons la solvabilité du problème de contrôle optimal à frontière distribuée simultanée décrit par (MVI) et considérons une famille de problèmes de contrôle optimal approximatifs pilotés par (AMVI). Enfin, nous fournissons un résultat sur le comportement asymptotique des contrôles optimaux, des états du système et des valeurs minimales pour approcher les problèmes de contrôle optimal.
El objetivo principal de este documento es estudiar un sistema de complementariedad no lineal (NCS, por sus siglas en inglés) con un operador diferencial parcial no lineal y no homogéneo y condiciones de límite mixtas, y un problema de control óptimo de límite distribuido simultáneo gobernado por (NCS), respectivamente. En primer lugar, formulamos la formulación débil de (NCS) a una desigualdad variacional mixta con restricciones de doble obstáculo (MVI, para abreviar), y demostramos la existencia y singularidad de la solución a (MVI). Luego, se aplica un método de penalización de potencia (NCS) para introducir una desigualdad variacional mixta aproximada sin restricciones (AMVI, para abreviar). Después de eso, se establece un resultado de convergencia de que la solución única de (MVI) puede ser abordada por la solución única de (AMVI) cuando un parámetro de penalización tiende al infinito. Además, exploramos la resolubilidad del problema de control óptimo de límites distribuidos simultáneos descrito por (MVI) y consideramos una familia de problemas de control óptimo aproximados impulsados por (AMVI). Finalmente, proporcionamos un resultado sobre el comportamiento asintótico de los controles óptimos, los estados del sistema y los valores mínimos para aproximar los problemas de control óptimos.
The primary goal of this paper is to study a nonlinear complementarity system (NCS, for short) with a nonlinear and nonhomogeneous partial differential operator and mixed boundary conditions, and a simultaneous distributed-boundary optimal control problem governed by (NCS), respectively. First, we formulate the weak formulation of (NCS) to a mixed variational inequality with double obstacle constraints (MVI, for short), and prove the existence and uniqueness of solution to (MVI). Then, a power penalty method is applied to (NCS) for introducing an approximating mixed variational inequality without constraints (AMVI, for short). After that, a convergence result that the unique solution of (MVI) can be approached by the unique solution of (AMVI) when a penalty parameter tends to infinity, is established. Moreover, we explore the solvability of the simultaneous distributed-boundary optimal control problem described by (MVI), and consider a family of approximating optimal control problems driven by (AMVI). Finally, we provide a result on asymptotic behavior of optimal controls, system states and minimal values to approximating optimal control problems.
الهدف الأساسي من هذه الورقة هو دراسة نظام تكامل غير خطي (NCS، باختصار) مع مشغل تفاضلي جزئي غير خطي وغير متجانس وظروف حدود مختلطة، ومشكلة تحكم أمثل موزعة الحدود في وقت واحد تحكمها (NCS)، على التوالي. أولاً، نقوم بصياغة الصيغة الضعيفة لـ (NCS) إلى تفاوت متغير مختلط مع قيود عقبة مزدوجة (MVI، باختصار)، ونثبت وجود وتفرد الحل لـ (MVI). بعد ذلك، يتم تطبيق طريقة عقوبة القوة على (NCS) لإدخال تفاوت متغير مختلط تقريبي دون قيود (AMVI، باختصار). بعد ذلك، يتم إنشاء نتيجة تقارب يمكن من خلالها الوصول إلى الحل الفريد لـ (MVI) من خلال الحل الفريد لـ (AMVI) عندما تميل معلمة العقوبة إلى ما لا نهاية. علاوة على ذلك، نستكشف قابلية حل مشكلة التحكم الأمثل للحدود الموزعة المتزامنة التي وصفها (MVI)، وننظر في عائلة من مشاكل التحكم الأمثل التقريبية التي يقودها (AMVI). أخيرًا، نقدم نتيجة حول السلوك المقارب لعناصر التحكم المثلى وحالات النظام والقيم الدنيا لتقريب مشاكل التحكم المثلى.