Result: Novas versões para a Inversa Aproximada em Blocos: Uma Comparação Numérica

Nous proposons deux variantes du préconditionneur d'approximation inverse par blocs (BAINV), développé à l'origine par Benzi, Kouhia et Tuma en 2001. La première variation, l'approximation inverse de bloc stabilisé pour les matrices non symétriques (SBAINV-NS), est valable pour les matrices non symétriques et non singulières. La deuxième variation, l'approximation inverse de bloc stabilisée combinée (SBAINV-VAR), est basée sur les relations des facteurs inverses de bloc approximatifs avec la factorisation LDU dans les blocs de A, que nous allons démontrer, et sur la relation d'approximation de l'inverse de Neumann. Nous démontrons la cohérence mathématique de ces nouvelles versions et présentons les algorithmes liés à chacune d'elles, en plus d'afficher des expériences numériques où nous comparons la densité des préconditionneurs et le nombre d'itérations appliquées à la méthode du gradient bi-conjugué stabilisé (Bi-CGSTAB). Les principaux résultats numériques obtenus indiquent que l'utilisation de la structure de bloc peut augmenter les performances de la méthode itérative de Krylov par rapport à la version scalaire. En outre, dans les expériences présentées, le SBAINV-VAR produit généralement des préconditionneurs qui effectuent moins d'itérations du Bi-CGSTAB et sont moins denses que le SBAINV-NS.
Proponemos dos variaciones del preacondicionador de aproximación inversa de bloques (BAINV), desarrollado originalmente por Benzi, Kouhia y Tuma en 2001. La primera variación, la aproximación inversa de bloques estabilizados para matrices no simétricas (SBAINV-NS), es válida para matrices no simétricas y no singulares. La segunda variación, la aproximación inversa de bloque estabilizada combinada (SBAINV-VAR), se basa en las relaciones de los factores inversos de bloque aproximados con la factorización LDU en bloques de A, que demostraremos, y en la relación de aproximación de la inversa de Neumann. Demostramos la consistencia matemática de estas nuevas versiones y presentamos los algoritmos relacionados con cada una de ellas, además de mostrar experimentos numéricos donde comparamos la densidad de los preacondicionadores y el número de iteraciones cuando se aplica al método de gradiente bi-conjugado estabilizado (Bi-CGSTAB). Los principales resultados numéricos obtenidos indican que el uso de la estructura de bloques puede aumentar el rendimiento del método iterativo de Krylov en comparación con la versión escalar. Además, en los experimentos presentados, el SBAINV-VAR generalmente produce preacondicionadores que realizan menos iteraciones del Bi-CGSTAB y son menos densos que el SBAINV-NS.
We propose two variations of the block inverse approximation preconditioner (BAINV), originally developed by Benzi, Kouhia and Tuma in 2001. The first variation, the stabilized block inverse approximation for non-symmetric matrices (SBAINV-NS), is valid for non-symmetric and non-singular matrices. The second variation, the combined stabilized block inverse approximation (SBAINV-VAR), is based on the relationships of the approximate block inverse factors with the LDU factorization in blocks of A, which we will demonstrate, and on the approximation relationship of the Neumann inverse. We demonstrate the mathematical consistency of these new versions and present the algorithms related to each of them, in addition to displaying numerical experiments where we compare the density of the preconditioners and the number of iterations when applied to the stabilized bi-conjugated gradient method (Bi-CGSTAB). The main numerical results obtained indicate that the use of the block structure can increase the performance of the iterative Krylov method compared to the scalar version. In addition, in the experiments presented, the SBAINV-VAR generally produces preconditioners that perform fewer iterations of the Bi-CGSTAB and are less dense than the SBAINV-NS.
Propomos duas variações do precondicionador de aproximação da inversa em blocos (BAINV), originalmente desenvolvido por Benzi, Kouhia e Tuma em 2001. A primeira variação, a aproximação da inversa em blocos estabilizada para matrizes não simétricas (SBAINV-NS), é válida para matrizes não simétricas e não singulares. A segunda variação, a aproximação da inversa em blocos estabilizada combinada (SBAINV-VAR), é baseada nas relações dos fatores da inversa aproximada em blocos com a fatoração LDU em blocos de A, as quais demonstraremos, e na relação de aproximação da inversa de Neumann. Demonstramos a consistência matemática dessas novas versões e apresentamos os algoritmos referentes a cada uma delas, além de exibir experimentos numéricos onde comparamos a densidade dos precondicionadores e o número de iterações quando aplicados ao método estabilizado de gradientes bi-conjugados (Bi-CGSTAB). Os principais resultados numéricos obtidos indicam que o uso da estrutura de blocos pode aumentar a performance do método iterativo de Krylov em comparação com a versão escalar. Além disso, nos experimentos apresentados, o SBAINV-VAR produz, em geral, precondicionadores que realizam menos iterações do Bi-CGSTAB e são menos densos do que o SBAINV-NS.
نقترح نوعين مختلفين من مكيف التقريب العكسي (BAINV)، الذي تم تطويره في الأصل من قبل بنزي وكوهيا وتوما في عام 2001. الاختلاف الأول، التقريب العكسي للكتلة المستقرة للمصفوفات غير المتماثلة (SBAINV - NS)، صالح للمصفوفات غير المتماثلة وغير المفردة. يعتمد التباين الثاني، التقريب العكسي للكتلة المستقرة المجمعة (SBAINV - VAR)، على علاقات العوامل العكسية للكتلة التقريبية مع تحليل LDU في كتل A، والتي سنوضحها، وعلى العلاقة التقريبية لعكس نيومان. نوضح الاتساق الرياضي لهذه الإصدارات الجديدة ونقدم الخوارزميات المتعلقة بكل منها، بالإضافة إلى عرض التجارب العددية حيث نقارن كثافة الشروط المسبقة وعدد التكرارات عند تطبيقها على طريقة التدرج الثنائي المترافق المستقر (Bi - CGSTAB). تشير النتائج العددية الرئيسية التي تم الحصول عليها إلى أن استخدام بنية الكتلة يمكن أن يزيد من أداء طريقة كريلوف التكرارية مقارنة بالنسخة العددية. بالإضافة إلى ذلك، في التجارب المقدمة، ينتج SBAINV - VAR بشكل عام مكيفات مسبقة تؤدي تكرارات أقل من Bi - CGSTAB وتكون أقل كثافة من SBAINV - NS.