Result: Геометрические свойства интегрального оператора Бернацкого

Майер Федор Федорович – профессор, кандидат физико-математических наук, кафедра ма-тематики и физики, Костанайский региональный университет им. А. Байтурсынова, г. Костанай, Республика Казахстан, e-mail: maiyer@mail.ru, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-2278-2723 Тастанов Мейрамбек Габдулиевич – профессор, кандидат физико-математических наук, ка-федра математики и физики, Костанайский региональный университет им. А. Байтурсынова, г. Костанай, Республика Казахстан, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-1926-8958 Утемисова Анар Алтаевна – доцент, кандидат педагогических наук, кафедра математики и физики, Костанайский региональный университет им. А. Байтурсынова, г. Костанай, Республика Казахстан, e-mail: anar_utemisova@mail.ru, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0001-5143-0260. Maiyer Fedor Fedorovich is Professor, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Department of Math-ematics and Physics, Kostanay Regional University named after A. Baitursynov, Kostanay, Republic of Kazakhstan, e-mail: maiyer@mail.ru, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-2278-2723 Tastanov Meyrambek Gabdulievich is Professor, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Department of Mathematics and Physics, Kostanay Regional University named after A. Baitursynov, Kostanay, Re-public of Kazakhstan, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-1926-8958 Utemissova Anar Altayevna is Associate Professor, Cand. Sc. (Pedagogical), Department of Math-ematics and Physics, Kostanay Regional University named after A. Baitursynov, Kostanay, Republic of Kazakhstan, e-mail: anar_utemisova@mail.ru, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0001-5143-0260 Исследование отображений классов регулярных функций с помощью различных операторов к настоящему времени стало самостоятельным направлением в геометрической теории функций комплексного переменного. В этом плане известную связь f(z)∈So ⇔ g(z) = zf'(z) ∈ S* классов So и S* выпуклых и звездообразных функций можно рассматривать как отображение с помощью дифференциального оператора G[f](x) = zf'(z) класса So на класс S*, то есть G: So → S* или G(So) = S*. Толчком к изучению данного круга вопросов стало предположение М. Бернацкого о том, что обратный оператор G–1[f](x), переводящий S* → So и тем самым «улучшающий» свойства функций, отображает весь класс S однолистных функций в себя. К настоящему времени вышел целый ряд статей, в которых исследуются различные интегральные операторы, в частности, определены множества значений входящих в эти операторы показателей, при которых операторы осуществляют отображение класса S или его подклассов в себя или в другие подклассы. В настоящей работе найдены значения входящего в обобщенный интегральный оператор Бернацкого параметра, при котором данный оператор преобразует подкласс звездообразных функций, выделяемых условием a < Re zf'(z)/ f(z) < b (0 < a < 1 < b), в класс K(γ) функций, почти выпуклой порядка γ. Результаты статьи обобщают или усиливают ранее известные результаты. In the geometric theory of complex variable functions, the study of mapping of classes of regular functions using various operators has now become an independent trend. The connection f(z)∈So ⇔ g(z) = zf'(z) ∈ S* of the classes So and S* of convex and star-shaped functions can be consid-ered as mapping using the differential operator G[f](x) = zf'(z) of class So to class S*, that is, G: So → S* or G(So) = S*. The impetus for studying this range of issues was M. Bernatsky's assumption that the in-verse operator G–1[f](x), which translates S* → So and thereby “improves” the properties of functions, maps the entire class S of single-leaf functions into itself. At present, a number of articles have been published which study the various integral operators. In particular, they establish sets of values of indicators included in these operators where operators map class S or its subclasses to themselves or to other subclasses. This paper determines the values of the Bernatsky parameter included in the generalized integral operator, at which this operator transforms a subclass of star-shaped functions allocated by the condition a < Re zf'(z)/ f(z) < b (0 < a < 1 < b), in the class K(γ) of functions, almost convex in order γ. The results of the article summarize or reinforce previously known effects.