Treffer: A computable extension for holonomic functions: DD-finite functions

D-finite oder holonome Funktionen sind Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit polynomiellen Koeffizienten. Da für diese Funktionen viele Eigenschaften algorithmisch berechnet werden können, standen sie in den letzten Jahrzehnten im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit im Gebiet des Symbolischen Rechnens. Sie können mit einer endlichen Datenmenge (die Koeffizienten der Gleichung sowie die Anfangswerte) dargestellt werden und mehrere Algorithmen, die mit dieser Darstellung arbeiten, wurden entwickelt. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die Definition von D-finiten Funktionen und erweitern einige der existierenden Algorithmen auf diese größere Klasse von Funktionen: Funktionen, die eine lineare Differentialgleichung mit D-finiten Koeffizienten erfüllen. Wir nennen diese Funktionen DD-finit. Außerdem zeigen wir, dass diese Algorithmen in derselben Weise in das allgemeinere Setting von Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Koeffizienten in einem berechenbaren Differentialring erweitert werden können. Das erlaubt uns, diese Konstruktion zu iterieren und die Menge der Dn-finiten Funktionen zu erhalten. Wir untersuchen auch ihre Eigenschaften und ihre Beziehung zu Lösungen von Differential-Algebraischen Gleichungen (die eine noch größere Klasse von Funktionen ist). Alle Algorithmen, die wir entwickelt haben und in dieser Arbeit präsentieren, wurden in Sage (einem auf Python basierenden Open Source Computeralgebrasystem) implementiert. Die vorliegende Arbeit umfasst ein Benutzerhandbuch unserer Implementierung sowie mehrere Beispiele, wie dieses Programmpaket verwendet werden kann.
D-finite or holonomic functions are solutions to linear differential equations with polynomial coefficients. They have been in the focus of attention in symbolic computation during the last decades due to their computability properties. They can be represented with a finite amount of data (coefficients of the equation and initial values) and several algorithms have been developed to work with this representation. In the current thesis we extend the definition of D-finite functions to a more general setting and we focus on extending some of the existing algorithms to this wider class of functions: those that satisfy a linear differential equation with D-finite coefficients. We call them DD-finite functions. Further we show that, by the same principle, those algorithms can be extended to the wider setting of solutions to linear differential equations with coefficients in some computable differential ring. This allows us to iterate the construction, yielding the set of Dn-finite function. We also study their properties and their relation with the differentially algebraic functions (which are an even larger class of functions). All algorithms developed and presented in this thesis have been implemented in Sage (an Open Source system for computer algebra based on Python). We include in the thesis a technical user guide for our implementation together with several examples on how to use the package.