Treffer: A journey in the fields of PDE, probabilities and statistics with point processes

Point processes form a family of mathematical models commonly used to model brief events (e.g. stock market orders, infections, action potentials) or the location of objects (e.g. trees, galaxies, material cracks). These models are used, from a probabilistic point of view, to explain qualitatively certain phenomena observed in practical temporal or spatial configurations, or, from a statistical point of view, to quantitatively estimate model parameters based on observed configurations. This manuscript is partly within the framework detailed above, but also deals with the link that these models have with deterministic models: differential equations and partial differential equations. Indeed, in a large-scale framework, which is particularly interesting Indeed, in a large-scale framework, which is particularly interesting for modelling a large number of interacting neurons, mean-field and diffusive approximation theories allow this link to be formalised. Thus, the three main chapters of this manuscript (Chapters II to IV) correspond to these three major areas of mathematics: Partial differential equations, Probability, Statistics.On the one hand, the preferred application framework for temporal point processes is that ofneuroscience: each dimension of the process represents a neuron and each point representsan action potential. Existence and uniqueness results for deterministic models aredetailed in Chapter II and then used on point processes in Chapter III to rigorously demonstrate the link between these two domains. From a statistical point of view, the estimation of interactions between the dimensions of the process is studied in Chapter IV.On the other hand, there is no preferred framework for spatial point processes, but a new model based on critical points of a Gaussian random field is studied. From a probabilistic point of view, the simulation of such processes is studied in Chapter III. From a statistical point of view, the link between the characteristics of the point process and those of the underlying field, as well as the estimation of the latter's parameters, are studied, in a preliminary manner, in Chapter IV.
Les processus ponctuels forment une famille de modèles mathématiques couramment utiliséspour modéliser les instants d’évènements brefs (e.g. ordres boursiers, infections, potentielsd’action) ou la localisation d’objets (e.g. arbres, galaxies, fissures de matériau). Ces modèles sontutilisés, d’un point de vue probabiliste, pour expliquer de manière qualitative certains phénomènesobservés sur les configurations temporelles ou spatiales observées en pratique, ou bien, d’un pointde vue statistique, pour estimer de manière quantitative les paramètres des modèles à partir deconfigurations observées.Ce manuscrit se place en partie dans le cadre détaillé ci-dessus, mais traite également du lien queces modèles entretiennent avec des modèles déterministes: équations différentielles et équationsaux dérivées partielles. En effet, dans un cadre de grande dimension, particulièrement intéressantpour modéliser un grand nombre de neurones en interaction, les théories du champ-moyen et del’approximation diffusive permettent de formaliser ce lien. Ainsi, les trois chapitres principaux dece manuscrit (Chapitres II à IV) correspondent à ces trois grands domaines des mathématiques :Équations aux dérivées partielles, Probabilités, Statistique.D’un côté, le cadre d’application privilégié pour les processus ponctuels temporels est celui desneurosciences: chaque dimension du processus représente un neurone et chaque point représenteun potentiel d’action. Des résultats d’existence et unicité pour des modèles déterministes sontdétaillés dans le Chapitre II et ensuite utilisés sur des processus ponctuels dans le Chapitre IIIpour démontrer rigoureusement le lien entre ces deux domaines. D’un point de vue statistique,l’estimation des interactions entre les dimensions du processus est étudiée dans le Chapitre IV.De l’autre, il n’y a pas de cadre d’application privilégié pour les processus ponctuels spatiaux,mais l’on étudie un nouveau modèle basé sur les points critiques d’un champ aléatoire gaussien.D’un point de vue probabiliste, la simulation de tels processus est étudiée dans le Chapitre III.D’un point de vue statistique, le lien entre les caractéristiques du processus ponctuel et celles duchamp sous-jacent ainsi que l’estimation des paramètres de ce dernier sont étudiés, de manièrepréliminaire, dans le Chapitre IV.